フィードバック制御入門5章演習問題【4】 1 5章演習問題【4】 伝達関数1/{s(1+ T1s)(1 +T2s)} (ただしT1 > 0, T2 > 0) のベクトル軌跡について下記の問いに答えよ. 0000018078 00000 n
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上の記事の続きとなります。前回得たパラメータの検証を行うため, 得たモデルと実際の装置に同じ制御をかけて比較をしてみます。また, 前回の手法でパラメータを取得しておきます。$ K=482.58 $$ T = 0.663 $下図に比較結果を示します。傾向は一致しているかと思います。ここではPDゲインの設計を極配置によって求めてみます。上図のフィードバックループにおいて, プラントの伝達関数 $P(s)$ を$$ P(s) = \frac{K}{s(Ts+1)} $$PD制御器の伝達関数 [tex:C(s)]を$$と置きます。このフィードバックループの一巡伝達関数は$$$$$$伝達関数 $G(s)$ の極を$p_1$, $p_2$ とすると上2式の係数を比較して, これらの式を$K_P$ , $K_D$ について解きます。今回では, 2次遅れシステムの伝達関数$$の極に等しくなるように$p_1$ と $p_2$ を設定します。上の伝達関数の分母式 ,$$$$と求められます。$\omega_n$ が大きいほど, 収束が早くなります。 $\zeta = 1$ のときに臨界減衰応答となります。$\omega_n$ と $\zeta$ を与えて極配置を行ってみます。例えば $\omega_n = 10$$\zeta=0.65$にて実行するとおおむね応答が一致していると思います。ギア部分の摩擦が要因でしょうか, オーバーシュートは少し抑えられています。この時のゲインは$ K_p = 0.1371 $ $ K_d = 0.0131 $となりました。前回の位置制御系では, 制御プラントが積分器を有しているため, I制御なくとも指令に追従しました。"外乱 - 通信系などに外から加わる不要な信号。雑音あるいは妨害ともいう。"今回は制御系におけるものですね。このように, 偏差を確認することができます。外乱オブザーバは, フィードバックループ内に外乱が発生する状況で, 外乱を推定して制御入力にフィードバックをかけることで, 比較的に簡易に外乱を除去し安定化することができます。補償器のひとつです。外乱オブザーバとは今回は作ったサーボ系で動作を確かめてみようと思います。今回の制御ループで外乱を有するときのブロック図を以下に示しますこのときの出力 $y$ は, $$となります。コントローラによって制御された入力が外乱によって変化してしまいます。上の例では, $d$ に一定値を入力しているので, オフセットの電圧がモータドライバに印加され, 定常偏差が発生します。コントローラ側から生成される制御量から外乱を推定して, 制御入力に外乱 $d$ を差し引いておくことで外乱の影響を除去することができます。この場合の出力 $y$ は, $$$$となり, 適切に制御されます。(外乱があらかじめわかっているのなら, フィードフォワードで差し引けば外乱を除去できます。)本質はどう外乱を推定するかにあります。出力は外乱を受けた後の出力となるため, ここから推定することができそうです。出力 $y$ の式は, $$ここで制御プラント $G(s)$ が逆システム $G(s)^{-1}$ が存在すれば,( 今回は$G(s)^{-1} = {s(sT+1)}/{T}$となります )$$$$となり, 推定外乱 $\hat{d}$ を求めることができます。ブロック図で表すと以下のように表現することができます。オレンジ部分がオブザーバの表現になります。となり, 推定外乱 $\hat{d}$ は,$$ここで $G(s)$ とその逆システム $G(s)^{-1}$ の積 $G(s)G(s)^{-1} = 1$ とすると, $$が成立します。 このような原理で外乱を除去します。プログラム上で制御対象の伝達関数 $ G(s) $ , またその逆関数 $ G(s)^{-1} $ を利用して制御する方式をモデル規範型制御とも呼んだりするそうです。今回の制御プラントは逆システム $ G(s)^{-1} $ が得られます。運用上で注意すべきことがあり, フィルタの設計になります。逆システムの式、$ G(s)^{-1} $ には微分項が含まれています。微分動作は基本的に不安定な要素のため, これを避けるためにプロパーな関数にします。具体的な操作としては分子多項式の次数が分母多項式の次数以下にするためローパスフィルタを使います。今回私は, Butterworthフィルタを選定しました。$$カットオフ周波数 $ \omega_c $ となります。推定外乱にフィルタをかけることも多いそうですが, ループ内に微分器が残ってしまうパスが残ってしまうので, ローパスフィルタを分散して次のように設定します。こうすることで出力項は以下のように変形され, プロパーな項となります。$$$$このように分母次数と分子の次数が等しくなり, $F(s)G(s)^{-1}$ は (なんとか) 動作します。MATLAB/Simulinkでシミュレーション・実行する際に, 逆システム（を離散化したもの）をそのままの伝達関数として扱うことはできません。(プロパーでない（非因果モデルに使用できません）とでます)よってこのような方法を取っています。あらかじめシステム同定を行い, パラメータを取得しておきます。$K = 570.860$$ T = 0.5311$ゲインの計算とオブザーバ（とフィルタ）の設定と実行します。ゲインのパラメータは以下のようになります。$K_p = 0.093$$K_D = 0.0103$Simulinkでもオブザーバ適用時のブロックを更新しました。以下に示します。次に動作した結果を示します。外乱発生して1秒後には収束していることが分かるかと思います。モデルをなるべく正確に把握することで, 制御器とオブザーバが動作することを確かめることができました。詳しく見てみると理想応答と少しずれが起きていることが分かります。位相遅れが考えられます。あと摩擦などの非線形の要素にかなり苦しめられました。以下の動画は動いているときの様子です。モーション制御 - 外乱オブザーバ外乱を検知して, 補正をかけようとしているような動きとなります。Hamachi さんのブログ 外乱 目標値 r ＋＋ 伝達関数です。 あとで説明します。 1．開ループ制御と閉ループ制御 3 下図のように信号がバック（back：後方に）にフィード（feed：与える、 伝達）する制御をフィードバック制御、またはループを構成してい
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入力 制御対象 出力 フィードバック要素 外乱 比 ... 入力と外乱の伝達関数の違いを 見ておいてください． 24 w z e m e m e i m g m e m e m e i m g e i m t t s t t s k k k k k e t t s t t s k k k k k k k s 1 1 2 2 0000003961 00000 n
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フィードバック制御系の安定性 閉ループ伝達関数の極は特性多項式をF(s) と して、特性方程式 F(s)=0 の根のことである。 閉ループ伝達関数の全ての極の実部が負であ る（全ての極が複素平面の左半面にある）なら ば、フィードバック制御系は安定である。
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